振動を学んでいるとたくさんの微分方程式やその解と出会う。
ここではそれらをまとめたい。
よく見るパターンは以下の4つである
・バネの自由振動
・バネマスダンパの減衰振動
・バネの自由振動+強制振動
・バネマスダンパの減衰振動+強制振動
変位による強制振動はまた別の記事で扱う。
バネの自由振動
図1のような単純なモデルを考える.

この運動方程式は次のようになる
\begin{gather}
m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0 \tag{1}
\end{gather}
これは2階同次線形微分方程式と呼ばれる.
右辺に外力$F\sin(wt)$などがかかれば非同次式になる。
この微分方程式の求め方は次のようにたくさんある。
1.定数解を仮定して解く
2.行列を使って解く
3.複素数を使って解く
4.ラプラス変換を使って解く
今回は1を使う。
同次式であるため(外力がないため)解は一般解だけである。
1.基本解を階数分だけ求める(解になりそうな一次独立の関数)
2.基本解を線形結合する
式(1)を次のように置き換える
\begin{gather}
\ddot{x}=-\frac{k}{m}x\\
\ddot{x}=-w_n^2x \tag{2}
\end{gather}
ここで$w_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$である.
式(2)を見ると、$x$は二回微分したら元の$x(t)$×定数×(-1)となっていることがわかる。このような関数を考えると、三角関数が思い当たる。例えば$\sin(wt)$は二回微分したら$-w^2\sin(wt)$である. したがって「一般解の求め方」の「1.基本解を階数分だけ求める(解になりそうな一次独立の関数)」では
\begin{gather}
A_1 \sin(w_n t),A_2 \cos(w_n t)
\end{gather}
が候補になる。
そしてこれらを線形結合すると
\begin{gather}
x(t)=A_1 \sin(w_n t)+A_2 \cos(w_n t) \tag{3}\\
ただしA_1,A_2は定数
\end{gather}
と求めることができる。ここで終わってもいいが、三角関数の合成を使うと次のようになる。
\begin{gather}
x=A\sin(w_n t+\phi) \tag{4}
\end{gather}ただし、$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}, \phi = \arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$
任意定数が2つあり、二階微分方程式の階数と一致する.
\begin{gather}a\sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\end{gather}

バネマスダンパの減衰振動
ここでは図2のようなバネマスダンパ系を考える。

この系の微分方程式は次のようになる.
\begin{gather}
m\frac{d^2x}{dt^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=0 \tag{5}
\end{gather}
(5)式を満たしそうな解を$x = e^{\lambda t}$とおく。バネによる自由振動の時は三角関数で置いたが、オイラーの公式より同じことである。
そして$\frac{de^{\lambda t}}{dt}, \frac{d^2e^{\lambda t}}{dt^2}$を計算して(5)式に代入すると
\begin{gather}
m\lambda^2 e^{\lambda t}+c\lambda e^{\lambda t}+k e^{\lambda t}=0 \tag{6}
\end{gather}
$e^{\lambda t}$で割ると(6)式は
\begin{gather}
m\lambda^2+c\lambda+k=0 \tag{7}
\end{gather}
ここで$w_n = \sqrt{\frac{k}{m}}, \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}$と置くと,
(7)式は,
\begin{gather}
\lambda^2+2\zeta w_n \lambda +w_n^2=0 \tag{8}
\end{gather}
これが特性方程式と呼ばれるやつ。ちなみにこの(8)式をラプラス変換した$s^2+2\zeta w_n s+w_n^2=0$が二次系の標準化式と呼ばれるやつである。
式(8)を解くと次のようになる
\begin{gather}
\lambda = \frac{-2\zeta w_n \pm \sqrt{(2\zeta w_n)^2-4w_n^2}}{2}=-\zeta w_n \pm \sqrt{\zeta^2-1}w_n \tag{9}
\end{gather}
\begin{gather}
\lambda_1 = -w_n(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}), \lambda_2 = -w_n(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\tag{10}
\end{gather}
今回仮定した解は$x = e^{\lambda t}$なので、$\lambda_1,\lambda_2$を代入すると基本解は
\begin{gather}
x_1 = e^{ -w_n(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})t}, x_{2}=e^{-w_n(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})t}\tag{11}
\end{gather}
となる。(1次独立となっているためOK)
そしてこれらを線形結合すると
\begin{align}
x=& C_1x_1+C_2x_x\\
x=&C_1 e^{ -w_n(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})t}+C_2e^{-w_n(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})t}\tag{11.5}\\
x=&e^{-\zeta w_n t}(C_1e^{\sqrt{\zeta^2-1}w_n t}+C_2e^{-\sqrt{\zeta^2-1}w_n t})\tag{12}
\end{align}
ここで$\sqrt{\zeta^2-1}$が0よりも大きい場合(実数解)と、0である場合(重解)、そして0未満である場合(虚数解)の3つに場合できる。
$\zeta^2-1>0$の時→$\sqrt{\zeta^2-1}>0の時$
まず最初に式(12)式から、
$w_d = \sqrt{\zeta^2-1}w_n$と定義し直すと次のように書き直せる。
\begin{gather}
x=e^{-\zeta w_n t}(C_1e^{w_d t}+C_2 e^{-w_d t}) \tag{13}
\end{gather}
ここで$t=0$の時は
\begin{gather}
x(0)=C_1+C_2\tag{14}
\end{gather}
また、$t = \infty$の時は、
\begin{align}
x(\infty)=&e^{-\infty}(C_1e^{w_d\infty}+C_2 e^{-w_d \infty})\\
x(\infty)=&C_1 e^{-\infty+ \infty}+C_2 e^{-\infty-\infty}\tag{15}
\end{align}
ここで、右辺の第一項目の$e$は、収束するのか発散するのか考えてみる。
振り返って考えると、$e$は、$e^{-\zeta w_n t}\times e^{\sqrt{\zeta^2-1}w_nt}=e^{-\zeta w_n t+\sqrt{\zeta^2-1}w_nt}$である。
条件より$\zeta^2-1>0$が言えるため、$\zeta>\sqrt{\zeta^2-1}$である。
なぜなら、$\sqrt{\zeta^2}>\sqrt{\zeta^2-1}$だからである。そのため
$\zeta w_n>\sqrt{\zeta^2-1}w_n$が言える。
そのためマイナスの方が大きくなり、0に収束することがわかる。
$\zeta^2-1=0$→$\sqrt{\zeta^2-1}=0の時$
$\zeta^2=1$ということは
式(11.5)で
\begin{gather}
x=C_1e^{-\zeta}+C_2e^{-\zeta}\tag{16}\\
x=e^{-\zeta}(C_1+C_2)\tag{17}\\
x=Ce^{-\zeta} \tag{18}\\
\end{gather}
となる。このままでは、基本解が一つだけとなってしまい、2つの任意定数を含んだ解とならないので、振幅と位相の情報を含んだ一般解として表せない。そこで、$x = C_3(t)e^{-\zeta w_nt}$という解を導入する.これは式(5)を満足する。
式(5)において、$w_n = \sqrt{\frac{k}{m}}, \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}$と置くと,
\begin{gather}
\ddot{x}+2\zeta w_n \dot{x}+w_n^2x=0\tag{19}
\end{gather}
となる。
ここに$x=C_3(t)e^{-\zeta w_n t}$を代入する。
$\dot{x}=\dot{C_3}(t)e^{-\zeta w_n t}-C_3(t)\zeta w_n e^{-\zeta w_n t}$
$\ddot{x}=\ddot{C}_3(t)e^{-\zeta w_n t}-\zeta w_n e^{-\zeta w_n t}\dot{C}_3(t)-\dot{C}_3(t)\zeta w_n e^{-\zeta w_n t}+\\
(-C_3(t))(-\zeta w_n)\zeta w_n e^{-\zeta w_n t}$
$\ddot{x}=\ddot{C}_3(t)e^{-\zeta w_n t}-2\zeta w_n e^{-\zeta w_n t}\dot{C}_3(t)+\zeta^2w_n^2C(t)e^{-\zeta w_n t}$]
したがって、これらを式(19)に代入すると
\begin{gather}
\ddot{C}_3(t)e^{-\zeta w_n t}-2\zeta w_n e^{\zeta w_n t}\dot{C}_3(t)+\zeta^2w_n^2C_3(t)e^{-\zeta w_n t}\\
+2\zeta w_n(\dot{C}_3(t)e^{-\zeta w_n t}-C(t)\zeta w_n e^{-\zeta w_n t})+w_n^2C_3(t)e^{-\zeta w_n t}=0 \tag{20}
\end{gather}
これを整理すると、
\begin{gather}
\ddot{C}_3(t)-\zeta^2w_n^2C_3(t)+w_n^2C_3(t)=0\\
\ddot{C}_3(t)-C_3(t)w_n^2(\zeta^2-1)=0\tag{21}
\end{gather}
ここでは$\zeta^2-1=0$のときを考えているため、
\begin{gather}
\ddot{C}_3(t)=0\tag{22}
\end{gather}となる。
2回微分したら0になる関数ということは、
\begin{gather}
C_3(t)=\int \int dt = At+B\tag{23}
\end{gather}
より、
\begin{gather}
x = (At+B)e^{-\zeta w_n t} \tag{24}
\end{gather}
これによっても止まった基本解である式(24)と式(18)を線形結合させると、
\begin{gather}
x = e^{-\zeta w_n t}+Ae^{-\zeta w_n t}t+Be^{-\zeta w_n t}=e^{-\zeta w_n t}(At+B+1)\tag{25}
\end{gather}
この解が表す運動は振動的な性質を持たないが、振動するか、しないかの境にあり、
この場合を臨海減衰という。
$\zeta^2-1<0$→$\sqrt{\zeta^2-1}<0の時$
式(12)をもう一度書くと、
\begin{gather}
x = e^{-\zeta w_n t}(C_1 e^{\sqrt{\zeta^2-1}w_n t}+C_2 e^{-\sqrt{\zeta^2-1}w_n t})
\end{gather}
である。ここで$\zeta^2-1<0$より、$e$の指数部分に虚数$i$が生れる。
\begin{gather}
x = e^{-\zeta w_n t}(C_1 e^{i\sqrt{\zeta^2-1}w_n t}+C_2 e^{-i\sqrt{\zeta^2-1}w_n t})\tag{26}
\end{gather}
ここで$w_d = \sqrt{\zeta^2-1}w_n$とすると、
\begin{gather}
x = e^{-\zeta w_n t}(C_1 e^{iw_d t}+C_2 e^{-iw_d t})\tag{27}
\end{gather}
またオイラーの公式を使うと$C_1e^{iw_d t},C_2e^{-iw_d t}$は次のように書き直すことができる。
\begin{gather}
C_1e^{iw_d t}=C_1(\cos w_d t+i \sin w_d t)\tag{28}\\
C_2e^{-iw_d t}=C_2(\cos w_d t-i \sin w_d t) \tag{29} \\
\end{gather}
したがって、これらをまとめると
\begin{gather}
x = e^{-\zeta w_n t}\{(C_1+C_2)\cos w_d t+i(C_1-C_2)\sin w_d t\}\tag{30}
\end{gather}
$C_1+C_2=A, C_1-C_2=B$とする。そして初期条件を与えると複素数が消える。
よって三角関数の結合を用いてまとめると
\begin{gather}
x = e^{-\zeta w_n t}(A \cos w_d t +B \sin w_d t)\\
x = e^{-\zeta w_n t}C \sin(w_d t+\phi) \tag{31}
\end{gather}
式(31)において、$ e^{-\zeta w_n t}$は減衰を表し、$C \sin(w_d t+\phi)$は単振動を表す。
バネの自由振動+強制振動
ここではばねによりつながった質点に外力$F\sin w t$を加えたときについて考える。

図3で示した運動の方程式は次のようになる。
\begin{gather}
m\ddot{x}+kx=F \sin w t\tag{32}
\end{gather}
この方程式において求める関数は$x$である。
しかし右辺に$x$以外の項が入っているため非同次微分方程式(正確には、2階非同次線形微分方程式)である。
このような非同次微分方程式の解き方は次に示す通りである。
同次方程式の一般解+非同次微分方程式の特殊解
ここでいう「同次方程式の一般解」とは、外力のない自由振動状態の時の解である。
つまり、式(4)であり,
\begin{gather}
x=A\sin(w_n t+\phi) ,\quad w_n = \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{gather}
である。
また, 「非同次微分方程式の特殊解」は強制振動を表す。
ここではこの「非同次微分方程式の特殊解」を探す。これも同次方程式同様、式(32)を満たしそうな解を考える。外力が正弦波で、変位$x$も外力と同じように変化すると考えられるため解を次のように仮定する。
\begin{gather}
x = D\sin w t \tag{33}
\end{gather}
式(33)を微分すると$\dot{x} = Dw \cos wt$, $\ddot{x} = -Dw^2 \sin wt$となり、
式(32)に代入すると
\begin{gather}
-mw^2 \sin wt+kD \sin wt = F\sin wt \tag{34}\\
-mw^2 D +kD = F\tag{35}\\
D(k-mw^2)=F \tag{36} \\
D = \frac{F}{k-mw^2} \tag{37}
\end{gather}
ここで$w_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$と置くと式(37)は、
\begin{gather}
D = \frac{1}{w_n^2-w^2}\frac{F}{m} \tag{38}
\end{gather}
したがってこれを式(33)に代入すると
\begin{gather}
x = \frac{1}{w_n^2-w^2}\frac{F}{m} \sin wt \tag{39}
\end{gather}
よって、式(32)の非同次微分方程式の一般解は
\begin{gather}
x = A\sin(w_nt+\phi )+\frac{1}{w_n^2-w^2}\frac{F}{m} \sin wt \tag{40}
\end{gather}
図4は式(40)を自由振動部分(左)と強制振動部分(真ん中)に分けたものと、その合計(右)を示すグラフである。式(40)の$A\sin(w_nt+\phi )$が自由振動を示し, $\frac{1}{w_n^2-w^2}\frac{F}{m} $が強制振動を示す。

図4の固有振動数は1 rad/s、対して外力の振動数は5 rad/sにしている。(他のパラメータは$A = 1, \phi = 0, F = 100, m=1$)
式(40)の強制振動部分を見ると$w_n=w$になったときに分母が0になり、$x$が無限大になることがわかる。これが共振現象である。
図5は$w_n = 3$, $w_3.1$と、固有振動数に近い周波数を加えたときの結果である.(他のパラメータは$A = 1, \phi = 0, F = 1, m=1$)これを見ると一番右のグラフの振幅がわずかずつ上がっていることが確認できる。このように、無限大へと近づいてしまう共振だが、ダンパーを取り付けると、ピークを有限にすることができる。

バネマスダンパの減衰振動+強制振動
図6に示すように、バネマスダンパ系に外力$F$を加えた時を考えます。

微分方程式は次のようにあらわせる。
\begin{gather}
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx = F\tag{41}
\end{gather}
ここで$F$を周期的な外力とすると
\begin{gather}
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx = F\sin{wt}\tag{42}
\end{gather}
と表せる。これは前章「バネの自由振動+強制振動」でやったやつと同様の「2階非同次線形微分方程式」である。
前章でも示した通り、
「非同次微分方程式の一般解の求め方=同次方程式の一般解+非同次微分方程式の特殊解」である。
「同次方程式の一般解」は、減衰比の大きさによって変わる。
ここでは、最後に示した$\zeta^2-1<0$の時を考えると, 同次方程式の一般解は式(31)より、
\begin{gather}
x = e^{-\zeta w_n t}C \sin(w_d t+\phi) ,\\
w_d = \sqrt{\zeta^2-1}w_n,\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}
\end{gather}である。
次に非同次微分方程式の特殊解を求める。
式(42)を満たしそうな解として
\begin{gather}
x = A\sin wt+B \cos wt \tag{43}
\end{gather}
を仮定する。ここから具体的な$A,B$を求めていく。
まずは式(42)を次のように変形する
\begin{gather}
\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x = \frac{F}{m}\sin wt\tag{44}\\
\ddot{x}+2\zeta w_n \dot{x}+w_n ^2x = f \sin wt\tag{45}
\end{gather}
ここで、$\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}, w_n = \sqrt{\frac{k}{m}}, f = \frac{F}{m}$と置き換えている。
そして式(43)を微分する。
\begin{gather}
\dot{x} = Aw \cos wt-Bw \sin wt\\
\ddot{x} = -Aw^2 \sin wt-B w^2 \cos wt
\end{gather}
これらを式(45)に代入すると次のようになる。
\begin{gather}
-Aw^2 \sin wt-Bw^2 \cos wt +2\zeta w_n (Aw \cos wt-Bw \sin wt)+\\
w_n^2(A \sin wt+B \cos wt)=f \sin wt \tag{46}
\end{gather}
ここで式(46)が常に成り立つためには左辺と右辺で$\sin$と$\cos$のそれぞれの係数が一致する必要がある。したがって次のような等式が成り立つ。
\begin{gather}
\sinの係数\to -Aw^2-2\zeta w_n Bw+Aw_n^2=f\tag{47}\\
\cosの係数\to -Bw^2+2\zeta w_n Aw+Bw_n^2=0\tag{48}
\end{gather}
式(47)と式(48)をまとめると
\begin{gather}
A(w_n^2-w^2)-2B\zeta w_n w = f\tag{49}\\
2A\zeta w_n w+B(w_n^2-w^2)\tag{50}
\end{gather}
式(49)より,
\begin{gather}
A = \frac{f}{w_n^2-w^2}+\frac{2\zeta w_n w}{w_n^2-w^2}B\tag{51}
\end{gather}
式(51)を指揮(50)に代入すると,
\begin{gather}
2\zeta w_n w(\frac{f}{w_n^2-w^2}+\frac{2B\zeta w_n w}{w_n^2-w^2})+2B\zeta w_nw=0\\
\frac{2\zeta w_n w f}{w_n^2-w^2}+\frac{B(2\zeta w_n w)^2}{w_n^2-w^2}+B(w_n^2-w^2)=0\\
2\zeta w_n w f+B(2\zeta w_n w)^2+B(w_n^2-w^2)^2=0\\
B=\frac{-(2\zeta w_n w)f}{(2\zeta w_n w)^2+(w_n^2-w^2)^2}\tag{52}
\end{gather}
式(52)を式(51)に代入すると
\begin{gather}
A = \frac{f}{w_n^2-w^2}+\frac{2\zeta w_n w}{w_n^2-w^2}(\frac{-2\zeta w_n wf}{(2\zeta w_n w)^2+(w_n^2-w^2)^2})\\
\end{gather}
ここで$C= w_n^2-w^2$, $D=2\zeta w_n w$と置くと,
\begin{gather}
A = \frac{f}{C}+\frac{D}{C}(-\frac{-Df}{D^2+C^2})\\
A=\frac{f}{C}-\frac{D^2f}{C(D^2+C^2)}\\
A=\frac{f(D^2+C^2)}{C(D^2+C^2)}-\frac{D^2f}{C(D^2+C^2)}\\
A=\frac{Cf}{D^2+C^2}\tag{53}
\end{gather}
したがって
$A=\frac{f(w_n^2-w^2)}{(w_n^2-w^2)+(2\zeta w_n w)^2}$, $B=\frac{-f(2\zeta w_n w)}{(w_n^2-w^2)+(2\zeta w_n w)^2}$なので、式(43)の$x = A\sin wt+B \cos wt$に代入すると,
\begin{gather}
x = \frac{f(w_n^2-w^2)}{(w_n^2-w^2)+(2\zeta w_n w)^2} \sin wt- \frac{f(2\zeta w_n w)}{(w_n^2-w^2)+(2\zeta w_n w)^2} \cos wt \tag{54}\\
x = \frac{f}{(w_n^2-w^2)+(2\zeta w_n w)^2}\{ (w_n^2-w^2)\sin wt -2 \zeta w_n w \cos wt\}\tag{55}
\end{gather}
この特殊解の{}部分を三角関数の合成を使ってまとめると
\begin{gather}
x = \frac{f}{(w_n^2-w^2)+(2\zeta w_n w)^2}\{\sqrt{(w_n^2-w^2)^2+(2\zeta w_n w)^2} \sin (wt+\delta)\}\tag{56}\\
ここで、\tan \delta = -\frac{2\zeta w_n w}{w_n^2-w^2}
\end{gather}
$\tan \delta$は位相のずれである。
$(w_n^2-w^2)+(2\zeta w_n w)^2$は約分できるため次のように表せる。
\begin{gather}
x = \frac{f}{\sqrt{(w_n^2-w^2)+(2\zeta w_n w)^2}}\sin (wt+\delta)\tag{57}
\end{gather}
したがって、自由振動部分(同次微分方程式)の一般解とあわせると、非同次微分方程式の一般解は
\begin{gather}
x = e^{-\zeta w_n t}C \sin(w_d t +\phi)+\frac{f}{\sqrt{(w_n^2-w^2)+(2\zeta w_n w)^2}}\sin (wt+\delta)\tag{58}
\end{gather}と表せる。
式(58)の自由振動部分の一般解は時間$t$が無限大になると0に収束することがわかる。
減衰がない式(40)は$w_n = w$の時分子が0に近づき, 振幅が無限大になり共振を起こす。
一方で減衰がある式(58)は、$w_n=w$でも、分子が0にならない。
では$w$がいくつのとき振幅が最大になるのだろうか。
これは2項目の分子が最小の時である。
2項目の分子の中のルートの中を次のように整理する
\begin{gather}
w_n^4-2\zeta w_n^2 w^2+w^4+4\zeta^2w_n^2 w^2\tag{59}\\
w^4-2(1-2\zeta^2)w_n^2w^2+w_n^4\tag{60}\\
(w^2-(1-2\zeta^2)w_n^2)^2-\{(1-2\zeta^2)w_n^2\}^2+w_n^4\tag{61}
\end{gather}
式(60)から式(61)は平方完成を行っている. これにより変数$w$部分の前半, $(w^2-(1-2\zeta^2)w_n^2)^2$, と定数部分の後半, $\{(1-2\zeta^2)w_n^2\}^2+w_n^4$に分けられる。
式(58)が最小となるのは式(61)より、$w^2=(1-2\zeta^2)w_n^2$の時、つまり
\begin{gather}
w =\sqrt{1-2\zeta^2}w_n\tag{62}
\end{gather}の時である。
ここから振幅のピークが存在する条件を導ける。式(62)より, ルートの中は正である必要があるため
\begin{gather}
1-2\zeta^2>0\\
2\zeta^2<1\\
\zeta<\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{gather}
したがって,
\begin{gather}
\zeta<\frac{1}{\sqrt{2}}(=0.7)\tag{63}
\end{gather}
これよりも$\zeta$が大きいとピークが存在しなくなる.
図7は減衰比を変えた時の振幅を示す($f=1,w_n = 1$)。ここで時間が無限に経過したと仮定し, 自由振動部分は無視している。$\zeta$が$\frac{1}{\sqrt{2}}=0.7$で境界があり、0.7より小さい場合はピークが存在し、0.7よりも大きい場合はピークが存在しないことが確認できる。

この時の最大振幅は式(61)の後半から
\begin{gather}
x = \frac{f}{\sqrt{(1-\zeta^2)4\zeta^2w_n^4}}=\frac{f}{2\zeta w_n^2\sqrt{1-\zeta^2}}\tag{64}
\end{gather}
と求まる。
参考文献
[1] 金沢工業大学 KIT数学ナビゲーション https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html&pcview=0
[2]振動工学, 藤田勝久, 森北出版株式会社,2017
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